Facharbeit – Ein Verfahren zur Trisektion eines Winkels
Im Rahmen meiner Schulzeit am Gymnasium Ernestinum Coburg entstand 1988 diese Facharbeit im Leistungskurs Mathematik. Ausgangspunkt war ein klassisches geometrisches Problem, das bereits seit der Antike bekannt ist: die Dreiteilung eines beliebigen Winkels.
Mich hat dabei besonders gereizt, dass es sich um ein Problem handelt, das sich mit den üblichen Mitteln – Zirkel und Lineal – im Allgemeinen nicht exakt lösen lässt. Gerade dieser Widerspruch zwischen mathematischer Theorie und praktischer Konstruktion war der Anstoß, sich intensiver mit möglichen Näherungsverfahren zu beschäftigen.
Die vollständige Facharbeit steht zusätzlich als PDF zur Verfügung.
Thema und Hintergrund
Die Trisektion eines Winkels gehört zu den klassischen Problemen der Geometrie. Während sich Winkel problemlos halbieren lassen, ist eine exakte Dreiteilung mit Zirkel und Lineal im allgemeinen Fall nicht möglich.
Die Arbeit beschäftigt sich daher mit einem Verfahren, das eine näherungsweise Trisektion erlaubt und gleichzeitig mathematisch untersucht werden kann.
Inhalte der Arbeit
Die Facharbeit gliedert sich in mehrere zentrale Abschnitte:
- Einführung in die Grundlagen der Winkelteilung
- Darstellung eines Verfahrens zur Trisektion nach Dr. Heinz Hector
- Mathematische Herleitung einer Beziehung für den entstehenden Teilwinkel
- Analyse der Genauigkeit der Konstruktion
- Entwicklung und Einsatz eines Computerprogramms zur Untersuchung
Ein Schwerpunkt liegt auf der systematischen Untersuchung der Konstruktion hinsichtlich ihrer Genauigkeit und praktischen Anwendbarkeit.
Mathematische Herleitung
Ein wesentlicher Bestandteil der Arbeit ist die Herleitung einer Formel zur Berechnung eines Teilwinkels in Abhängigkeit vom Ausgangswinkel und einem sogenannten Hilfswinkel.
Dabei werden geometrische Zusammenhänge genutzt, insbesondere:
- Ähnlichkeit von Dreiecken
- trigonometrische Beziehungen (Sinus, Cosinus, Tangens)
- Symmetrieeigenschaften der Konstruktion
Ziel ist es, den Zusammenhang zwischen konstruiertem und idealem Drittelwinkel mathematisch zu beschreiben.
Untersuchung der Genauigkeit
Ein zentraler Aspekt der Arbeit ist die Analyse der Abweichung zwischen dem konstruierten und dem idealen Drittelwinkel.
Unterschieden werden dabei:
- absoluter Fehler (Abweichung in Grad)
- relativer Fehler
- prozentualer Fehler
Zur Auswertung wurde ein Computerprogramm in GW-Basic entwickelt, das verschiedene Winkel und Hilfswinkel systematisch untersucht und die Genauigkeit der Konstruktion berechnet .
Ergebnisse und Erkenntnisse
Die Untersuchungen zeigen, dass die Genauigkeit der Konstruktion stark vom gewählten Hilfswinkel abhängt. Besonders gute Ergebnisse werden erzielt, wenn der Hilfswinkel in einem bestimmten Verhältnis zum Ausgangswinkel steht.
Unter geeigneten Bedingungen lässt sich so eine sehr präzise Näherung an die exakte Trisektion erreichen – trotz der bekannten theoretischen Einschränkungen.
Einordnung
Die Facharbeit verbindet klassische geometrische Fragestellungen mit analytischen und numerischen Methoden. Sie zeigt, wie sich ein historisches Problem der Mathematik mit strukturiertem Vorgehen und technischen Hilfsmitteln untersuchen lässt.
Rahmendaten
- Schule: Gymnasium Ernestinum Coburg
- Fach: Mathematik
- Kurs: Leistungskurs Mathematik
- Kursleiter: OStR Fahnler
- Jahr: 1988
Download
Die vollständige Facharbeit kann hier als PDF eingesehen werden: